Sinus- og cosinussetningen
Sinus- og cosinussetningen er sentrale verktøy for å løse trekanter når elevene har ulike kombinasjoner av sider og vinkler. Mange elever på videregående strever med å velge riktig setning når de står overfor AAS-, SAS- eller SSS-konfigurasjoner. Disse setningene bygger bro mellom geometri og trigonometri på en måte som gjør abstrakte konsepter konkrete.
Prøv det nå
Klikk «Generer en oppgave» for å se et ferskt eksempel på denne teknikken.
Hvorfor det betyr noe
Sinus- og cosinussetningen har praktisk anvendelse i mange yrker og hverdagssituasjoner. Landmålere bruker disse setningene når de skal måle avstander til utilgjengelige punkter - for eksempel kan de stå på bakken og måle vinkler til toppen av et 45 meter høyt tårn for å beregne avstanden. Ingeniører anvender setningene i byggeprosjekter hvor trekantede strukturer må beregnes nøyaktig. Navigasjon er et annet område hvor setningene er kritiske - GPS-systemer bruker triangulering basert på disse prinsippene. Pilater beregner kursjusteringer ved å bruke trekanters egenskaper når de skal fly fra Oslo til Bergen via Lillehammer. Selv i idrett som orientering må deltakere kunne anvende trekantberegninger for å finne korteste rute mellom kontrollposter. For elever som skal videre til ingeniørstudier eller realfag, danner disse setningene grunnlag for mer avanserte emner som vektorregning og komplekse tall.
Slik løser du sinus- og cosinussetningen
Sinus- og cosinussetningen
- Sinussetningen: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Brukes ved AAS eller SSA.
- Cosinussetningen: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Brukes ved SAS (finn tredje side).
- Omskrevet: cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab). Brukes ved SSS (finn vinkel).
- Hver side er paret med sinus av motstående vinkel.
Example: a=5, b=7, C=60° → c² = 25 + 49 − 70·(12) = 39, så c ≈ 6,24.
Utarbeidede eksempler
Du har gitt alle tre sider i en trekant og skal finne en vinkel. Hvilken setning gjelder, og hva er formelen?
Svar: Law of cosines: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab)
- Kjenn igjen SSS-konfigurasjonen → Scenario: SSS — AAS / SSA → sinussetningen. SAS / SSS → cosinussetningen.
- Skriv opp formelen → cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab) — Bruk cosinussetningen når denne konfigurasjonen er gitt.
I en trekant er side a = 10, vinkel A = 30°, vinkel B = 45°. Finn side b.
Svar: b ≈ 14,14
- Identifiser setningen → AAS → law of sines — Med to vinkler og en ikke-mellomliggende side (AAS) gjelder sinussetningen.
- Skriv formelen med innsatte verdier → 10/sin(30°) = b/sin(45°) — Par hver side med sinus av motstående vinkel.
- Løs for b → b = 10 · sin(45°) / sin(30°) = 10 · 0,7071 / 0,5 — Gang begge sider med sin(B) for å isolere b.
- Rund av til 2 desimaler → b ≈ 14,14 — Regn ut og rund av til ønsket presisjon.
I en trekant er side a = 6, side b = 9, og den mellomliggende vinkelen C = 30°. Finn side c.
Svar: c ≈ 4,84
- Identifiser setningen → SAS → law of cosines — To sider og mellomliggende vinkel → bruk cosinussetningen.
- Skriv formelen med innsatte verdier → c² = 6² + 9² − 2·6·9·cos(30°) — c² = a² + b² − 2ab·cos(C).
- Løs algebraisk → c² = 36 + 81 − 108·0,866 = 23,47 — Regn ut hvert ledd og kombiner.
- Trekk kvadratrot og rund av → c = √23,47 ≈ 4,84 — Sidelengder er positive; rund av til 2 desimaler.
Vanlige feil
- Elevene blander sammen når sinussetningen og cosinussetningen skal brukes. Med a=5, b=7, C=60° bruker de feilaktig sinussetningen og får c=5,74 i stedet for å bruke cosinussetningen som gir c≈6,24.
- Ved bruk av cosinussetningen glemmer elevene det negative leddet. For a=4, b=6, C=120° regner de c²=16+36+48=100, men riktig svar er c²=16+36-48=4, altså c=2.
- Elevene forveksler hvilken vinkel som hører til hvilken side. I en trekant med a=8, A=30°, B=45° bruker de feil vinkel-side-par og regner 8/sin(45°)=b/sin(30°) i stedet for 8/sin(30°)=b/sin(45°).
- Ved SSS-problemer forsøker elevene å bruke sinussetningen direkte. Med sider 5, 7, 9 prøver de a/sin(A)=b/sin(B) uten å ha noen vinkel først, men må starte med cosinussetningen cos(A)=(b²+c²-a²)/(2bc).