Skip to content
MathAnvil
§ Algebra

Polynomer

§ Algebra

Polynomer

CCSS.HSA.APR3 min lesing

Et polynom er et algebraisk uttrykk sammensatt av ledd med variabler og konstanter, som 3x² + 2x - 5. Polynomer klassifiseres etter grad: førstegradspolynomer (lineære) har høyeste potens 1, andregradspolynomer (kvadratiske) har høyeste potens 2. Arbeid med polynomer innebærer operasjoner som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og faktorisering.

§ 01

Bakgrunn

Polynomer danner grunnlaget for mange praktiske beregninger. Arkitekter bruker andregradspolynomer for å beregne arealer og optimere byggedesign. Økonomer modellerer profitt og kostnader med tredjegradspolynomer som P(x) = -2x³ + 15x² - 36x + 200. I fysikk beskriver polynomer bevegelse: et objekts posisjon kan uttrykkes som s(t) = 5t² + 10t + 3 meter. Databehandling bruker polynomer i kompresjon og signalbehandling. På 10. trinn møter elevene polynommultiplikasjon som forberedelse til videregående matematikk, hvor komplekse polynomer løser ligningssystemer og beskriver kurver i koordinatsystemet.

§ 02

Slik løser du polynomer

Polynomer

  • For å legge til/trekke fra: slå sammen like ledd.
  • For å gange: bruk FOIL eller distribuer hvert ledd.
  • For å faktorisere: finn to tall som ganget gir c og lagt sammen gir b.

Example: (x+2)(x+3) = x² + 5x + 6.

§ 03

Eksempler

Nybegynner§ 01

(1x + 4) + (2x + 2) = _______

Svar: 3x + 6

  1. Slå sammen like ledd → 1x + 2x = 3x, 4 + 2 = 6 — Legg sammen x-ledd og konstanter.
  2. Skriv resultatet → 3x + 6 — Sammenslått polynom.
Enkel§ 02

(1x − 5) + (3x − 2) = _______

Svar: 4x − 7

  1. Slå sammen like ledd → 4x − 7 — + x-leddene og konstantene separat.
Middels§ 03

(2x + 1)(1x − 1) = _______

Svar: 2x² − x − -1

  1. FOIL: Første → 2x · 1x = 2x² — Gang de første leddene.
  2. Ytre + Indre → 2x·-1 + 1·1x = -2x + 1x = -1x — Gang ytre og indre, slå sammen.
  3. Siste → 1 · -1 = -1 — Gang de siste leddene.
  4. Slå sammen → 2x² − x − -1 — Skriv det utvidede polynomet.
§ 04

Vanlige feil

  • Ved addisjon av (2x + 3) + (x - 1) skrives resultatet som 3x + 2x = 5x + 2 i stedet for 3x + 2, hvor x-ledd og konstanter blandes sammen
  • Under FOIL-multiplikasjon av (x + 2)(x + 3) glemmes det midterste leddet: x² + 6 i stedet for x² + 5x + 6, hvor både 2x og 3x utelates
  • Ved faktorisering av x² + 7x + 12 velges feil tallpar: (x + 2)(x + 5) som gir x² + 7x + 10, ikke (x + 3)(x + 4) som gir korrekte x² + 7x + 12
§ 05

Ofte stilte spørsmål

Hva er forskjellen på et polynom og et uttrykk?
Et polynom er en spesiell type algebraisk uttrykk som kun inneholder positive heltallspotenser av variabler. Uttrykk som 3x⁻² eller √x er ikke polynomer, mens 2x³ + 5x - 1 er et polynom.
Hvordan sjekker man svaret ved polynommultiplikasjon?
Substituer en enkel verdi som x = 1 i både det opprinnelige uttrykket og resultatet. For (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6 gir x = 1: venstre side (1+2)(1+3) = 12, høyre side 1² + 5(1) + 6 = 12.
Når brukes FOIL-metoden?
FOIL brukes ved multiplikasjon av to binomer (uttrykk med to ledd). Akronymet står for Første, Ytre, Indre, Siste og sikrer at alle fire kombinasjoner av ledd multipliseres: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd.
Hvorfor er det viktig å kunne faktorisere polynomer?
Faktorisering forenkler løsning av ligninger og hjelper med å finne nullpunkter. Et faktorisert polynom som (x-2)(x+3) = 0 viser direkte at x = 2 eller x = -3, noe som er vanskeligere å se fra x² + x - 6 = 0.
Hva er graden til et polynom?
Graden er den høyeste potensen av variabelen i polynomet. I 4x³ + 2x² - 7x + 1 er graden 3. Konstante polynomer som 5 har grad 0, mens lineære polynomer som 3x + 2 har grad 1.
§ 06

Se også

PolynomUttrykkLedd
§ 06

Hva nå?

Del denne artikkelen