Et kvadrat har et areal på 1 cm². Hva er sidelengden?

Svar: x = 1 cm (side length must be positive)

1. Tolk konteksten → Side length = x, so x² = 1 — Arealet av et kvadrat er lik sidelengden i andre. Siden lengde må være positiv, beholder vi bare den positive roten.
2. Forstå likningen → x² = 1 — Vi skal finne et tall som, når det kvadreres (ganges med seg selv), gir oss 1.
3. Ta kvadratroten av begge sider → x = ±√1 — Når vi tar kvadratroten, må vi ta med BÅDE positiv og negativ rot, fordi både (+a)² og (−a)² gir a².
4. Beregn √1 → √1 = 1 — Siden 1 × 1 = 1, er kvadratroten av 1 lik 1.
5. Skriv begge løsningene → x = 1 or x = −1 — En andregradslikning kan ha opptil 2 løsninger. Her har vi nøyaktig 2.
6. Kontroller begge løsningene → (1)² = 1 ✓, (−1)² = 1 ✓ — Sett inn hver verdi tilbake i x² = 1 for å bekrefte.

Lengden til et rektangel er 4 cm mer enn bredden. Arealet er 5 cm². Finn dimensjonene.

Svar: Width = 1 cm, Length = 5 cm

1. Sett opp likningen → Let x = width. Then length = x + 4, area = x(x + 4) = 5 → x² + 4x − 5 = 0 — Bredden er x, lengden er x + 4. Areal = bredde × lengde = 5.
2. Skriv likningen på standardform → x² − 6x + 5 = 0 (a = 1, b = -6, c = 5) — Standardform er ax² + bx + c = 0. Identifiser a, b og c.
3. Finn to tall som ganget gir c og lagt sammen gir b → Need: p × q = 5 and p + q = -6 → p = -5, q = -1 — Vi trenger to tall der produktet er 5 og summen er -6. Det er -5 og -1 fordi -5 × -1 = 5 og -5 + -1 = -6.
4. Skriv faktorisert form → (x - 5)·(x - 1) = 0 — Skriv andregradsuttrykket som et produkt av to parenteser.
5. Bruk nullregelen → Set each factor = 0: x = 5, x = 1 — Hvis a × b = 0, så er a = 0 eller b = 0. Sett hver faktor lik null og løs.
6. Kontroller ved innsetting → x = 5: 5² − 6·5 + 5 = 25 − 30 + 5 = 0 ✓ — Begge løsningene tilfredsstiller den opprinnelige likningen.

En ball kastes oppover. Høyden i meter etter x sekunder er h = −x² + 7x − 10. Når er h = 0?

Svar: x = 2 or x = 5

1. Sett høyden lik null → −x² + 7x − 10 = 0 → x² − 7x + 10 = 0 — Sett h = 0 og gang begge sider med −1 for å få standardform.
2. Skriv likningen på standardform → x² − 7x + 10 = 0 (a = 1, b = -7, c = 10) — Standardform er ax² + bx + c = 0. Identifiser a, b og c.
3. Finn to tall som ganget gir c og lagt sammen gir b → Need: p × q = 10 and p + q = -7 → p = -5, q = -2 — Vi trenger to tall der produktet er 10 og summen er -7. Det er -5 og -2 fordi -5 × -2 = 10 og -5 + -2 = -7.
4. Skriv faktorisert form → (x - 5)·(x - 2) = 0 — Skriv andregradsuttrykket som et produkt av to parenteser.
5. Bruk nullregelen → Set each factor = 0: x = 5, x = 2 — Hvis a × b = 0, så er a = 0 eller b = 0. Sett hver faktor lik null og løs.
6. Kontroller ved innsetting → x = 5: 5² − 7·5 + 10 = 25 − 35 + 10 = 0 ✓ — Begge løsningene tilfredsstiller den opprinnelige likningen.