Likningssett
Et likningssett består av to eller flere likninger med felles ukjente variabler som må løses samtidig. Løsningen er verdiparet som tilfredsstiller alle likningene i systemet. Innsettingsmetoden og addisjonsmetoden (eliminasjon) er de vanligste fremgangsmåtene for å løse slike systemer.
Bakgrunn
Likningssett modellerer situasjoner der flere betingelser må oppfylles samtidig. Bedrifter bruker dem for å optimalisere produksjon når både kostnad og kapasitet må hensyntas. I økonomi beregnes markedslikevekt der tilbud møter etterspørsel gjennom likningssett. Ingeniører dimensjonerer konstruksjoner ved å løse systemer med krefter og materialbegrensninger. I kjemi balanseres reaksjonslikninger med flere stoffer som likningssett. Kompetansemålet i LK20 for 10. trinn krever at elevene kan lage, løse og forklare likningssett knyttet til praktiske situasjoner. Dette danner grunnlag for senere emner som matriser, lineær programmering og differensiallikninger i videregående matematikk.
Slik løser du likningssett
Likningssett
- Skriv opp begge likningene.
- Bruk innsetting eller eliminasjon for å løse for én variabel.
- Sett inn igjen for å finne den andre.
- Kontroller i begge likninger.
Example: x + y = 5, x − y = 1 → x = 3, y = 2.
Eksempler
Jeg har to typer mynter. Til sammen er de verdt 4 kr. Den ene typen er verdt 2 kr. Hva er den andre typen verdt?
Svar: x = 2, y = 2
- Definer variabler → Let x = value of first coin, y = value of second coin x + y = 4 x = 2 — Oversett tekstoppgaven til likninger.
- Merk likningene → (1) x + y = 4 (2) x = 2 — Nummerer hver likning slik at vi kan referere til dem.
- Løs likning (1) for y → y = 4 − 1x — Isoler y i den enklere likningen for å bruke innsettingsmetoden.
- Sett inn i likning (2) → Substitute y into (2) and solve for x — Erstatt y i likning (2) med uttrykket fra likning (1), og løs for x.
- Finn x → x = 2 — Løsningen gir x = 2.
- Sett x tilbake for å finne y → In (1): 1·2 + 1·y = 4 → 2 + 1·y = 4 → 1·y = 2 → y = 2 — Sett x = 2 inn i likning (1) og løs for y.
- Skriv løsningen → x = 2, y = 2 — Skjæringspunktet mellom de to linjene.
- Kontroller i begge likninger → (1) 1·2 + 1·2 = 4 = 4 ✓ (2) 1·2 + 0·2 = 2 = 2 ✓ — Sett løsningen inn i begge de opprinnelige likningene for å bekrefte.
To søsken er til sammen 6 år. 3 ganger den eldstes alder minus den yngstes alder er 2. Hvor gamle er de?
Svar: older = 2, younger = 4
- Definer variabler → Let x = older sibling's age, y = younger sibling's age x + y = 6 3x − y = 2 — Oversett aldrene til et likningssett.
- Merk likningene → (1) x + y = 6 (2) 3x − 1y = 2 — Nummerer hver likning slik at vi kan referere til dem.
- Løs likning (1) for y → y = 6 − 1x — Isoler y i den enklere likningen for å bruke innsettingsmetoden.
- Sett inn i likning (2) → Substitute y into (2) and solve for x — Erstatt y i likning (2) med uttrykket fra likning (1), og løs for x.
- Finn x → x = 2 — Løsningen gir x = 2.
- Sett x tilbake for å finne y → In (1): 1·2 + 1·y = 6 → 2 + 1·y = 6 → 1·y = 4 → y = 4 — Sett x = 2 inn i likning (1) og løs for y.
- Skriv løsningen → x = 2, y = 4 — Skjæringspunktet mellom de to linjene.
- Kontroller i begge likninger → (1) 1·2 + 1·4 = 6 = 6 ✓ (2) 3·2 + -1·4 = 2 = 2 ✓ — Sett løsningen inn i begge de opprinnelige likningene for å bekrefte.
Løs likningssettet: 3x + 2y = -4 3x − 2y = -20
Svar: x = -4, y = 4
- Merk likningene → (1) 3x + 2y = -4 (2) 3x − 2y = -20 — Nummerer hver likning slik at vi kan referere til dem.
- Velg en variabel å eliminere → Multiply equations to align coefficients of y — Vi eliminerer y ved å gjøre koeffisientene like store, og deretter trekker fra.
- Trekk fra for å eliminere y → Solve the resulting equation for x — Etter å ha eliminert y, får vi en enkel likning med bare x.
- Finn x → x = -4 — Løsningen gir x = -4.
- Sett x tilbake for å finne y → In (1): 3·-4 + 2·y = -4 → -12 + 2·y = -4 → 2·y = 8 → y = 4 — Sett x = -4 inn i likning (1) og løs for y.
- Skriv løsningen → x = -4, y = 4 — Skjæringspunktet mellom de to linjene.
- Kontroller i begge likninger → (1) 3·-4 + 2·4 = -4 = -4 ✓ (2) 3·-4 + -2·4 = -20 = -20 ✓ — Sett løsningen inn i begge de opprinnelige likningene for å bekrefte.
Vanlige feil
- Ved innsettingsmetoden forveksles x = 3 og y = 2 slik at x = 2 og y = 3 skrives som svar uten å kontrollere i begge likningene
- I addisjonsmetoden adderes 2x + 3y = 7 og x - 3y = 2 til 3x = 9, men koeffisientene multipliseres feil slik at svaret blir x = 2 i stedet for x = 3
- Fortegnsfeil oppstår når 4x - 2y = 8 omformes til y = 2x + 4 i stedet for y = 2x - 4 ved løsning for y