Trigonometriske likninger
Trigonometriske likninger er likninger som inneholder en eller flere trigonometriske funksjoner som sin x, cos x eller tan x. Løsningsprosessen krever bruk av enhetssirkelen og ASTC-regelen for å finne alle vinkelverdier som tilfredsstiller likningen innenfor et gitt intervall. For eksempel har likningen sin x = 1/2 løsningene x = π/6 og x = 5π/6 i intervallet [0, 2π].
Bakgrunn
Trigonometriske likninger dukker opp i mange praktiske sammenhenger innen fysikk og ingeniørfag. I vekselstrømsanalyse må ingeniører løse likninger som cos(120πt) = 0,5 for å finne tidspunkter når spenningen når bestemte verdier. Innen signalbehandling brukes trigonometriske likninger for å analysere frekvenser og amplituder i lydopptakelse og kommunikasjonsteknologi. Arkitekter benytter dem når de beregner solinnfall og skyggeeffekter på bygninger gjennom året. I LK20 for matematikk R1 og R2 utgjør trigonometriske likninger en sentral del av kompetansemålene, og de forbereder elevene på videregående emner som differensiallikninger og komplekse tall.
Slik løser du trigonometriske likninger
Trigonometriske likninger
- Isoler trig-funksjonen: f.eks. sin x = v.
- Finn referansevinkelen fra enhetssirkelen.
- Bruk ASTC for å liste alle løsninger i intervallet [0, 2π) eller [0°, 360°).
- For sin(kx) = v, løs for kx først, del så. Husk perioden.
Example: 2 sin x = 1 → sin x = 12 → x = π/6 eller 5π/6 i [0, 2π).
Eksempler
Løs likningen cos(x) = 1 på intervallet [0°, 360°].
Svar: 0°, 360°
- Finn referansevinkelen fra enhetssirkelen → cos(reference) = 1 — Start med den positive verdien og finn den spisse vinkelen hvor sin/cos/tan er lik den. Det er referansevinkelen.
- Finn alle vinklene i [0°, 360°] med riktig fortegn → x ∈ {0°, 360°} — Bruk ASTC-regelen for å finne hvilke kvadranter som gir riktig fortegn. Hver kvadrant gir én løsning (eller to for aksevinklene 0°, 90°, 180°, 270°, 360°).
Løs likningen tan(x) = −√3 på intervallet [0, 2π].
Svar: 2π/3, 5π/3
- Finn referansevinkelen i radianer → reference angle from unit circle — Standard referanseverdier i radianer er π/6, π/4, π/3, π/2. Velg den hvor sin/cos/tan er lik absoluttverdien av høyresiden.
- List opp alle løsningene i [0, 2π] → x ∈ {2π/3, 5π/3} — Bruk ASTC for å velge de riktige kvadrantene, og skriv hver løsning på radianform.
Løs likningen cos(2x) = √32 på intervallet [0, 2π].
Svar: π/12, 11π/12, 13π/12, 23π/12
- Sett u = 2x og finn det nye intervallet for u → u ∈ [0, 4π] — Siden x ∈ [0, 2π] og u = 2x, blir intervallet for u [0, 4π] — 2 ganger så langt, så vi får 2 ganger så mange løsninger som i standardlikningen.
- Løs cos(u) = √32 og del hver løsning på 2 → x ∈ {π/12, 11π/12, 13π/12, 23π/12} — Finn grunnløsningene, legg til 2π for hver gjentakelse for å holde deg i det lengre intervallet, og del så på koeffisienten.
Vanlige feil
- En vanlig feil er å glemme den andre løsningen i intervallet. For cos x = 1/2 finner mange bare x = π/3, men glemmer x = 5π/3.
- Mange skriver sin(2x) = 1/2 direkte som x = π/6 istedenfor først å løse 2x = π/6 og deretter dele på 2 for å få x = π/12.
- Ved bruk av grader blandes ofte 30° og π/6 sammen, som å skrive cos x = √3/2 har løsning x = π/6 grader istedenfor x = 30°.