Sinus- og cosinussetningen
Sinus- og cosinussetningen er to fundamentale formler som løser trekanter når man kjenner 3 av 6 mulige verdier (3 sider og 3 vinkler). Sinussetningen a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) brukes ved AAS- eller SSA-konfigurasjoner, mens cosinussetningen c² = a² + b² − 2ab·cos(C) gjelder for SAS- og SSS-tilfeller. Disse setningene utvider trigonometrien utover rettvinklede trekanter til alle trekantttyper.
Bakgrunn
Sinus- og cosinussetningen brukes innen navigasjon, hvor GPS-systemer beregner posisjoner ved triangulering av satellittavstander. Arkitekter anvender setningene for å planlegge skråtak med vinkler på 25-35 grader og beregne materialforbruk. Innen landmåling måles uklere terrengformer ved å dele områder i trekanter og bruke kjente avstander på 50-200 meter. Spillutviklere implementerer formelen for kollisjonsdetektor og 3D-grafikk. Fysikere bruker vektoroppløsning i kraftanalyse hvor krefter på 150N og 200N virker i 45-graders vinkel. Setningene danner grunnlag for videregående matematikk som komplekse tall og Fourier-analyse på universitetet.
Slik løser du sinus- og cosinussetningen
Sinus- og cosinussetningen
- Sinussetningen: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Brukes ved AAS eller SSA.
- Cosinussetningen: c² = a² + b² − 2ab·cos(C). Brukes ved SAS (finn tredje side).
- Omskrevet: cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab). Brukes ved SSS (finn vinkel).
- Hver side er paret med sinus av motstående vinkel.
Example: a=5, b=7, C=60° → c² = 25 + 49 − 70·(12) = 39, så c ≈ 6,24.
Eksempler
Du har gitt to vinkler og én side i en vilkårlig trekant. Hvilken setning gjelder, og hva er formelen?
Svar: Law of sines: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
- Kjenn igjen AAS-konfigurasjonen → Scenario: AAS — AAS / SSA → sinussetningen. SAS / SSS → cosinussetningen.
- Skriv opp formelen → a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) — Bruk sinussetningen når denne konfigurasjonen er gitt.
I en trekant er side a = 10, vinkel A = 30°, vinkel B = 60°. Finn side b.
Svar: b ≈ 17,32
- Identifiser setningen → AAS → law of sines — Med to vinkler og en ikke-mellomliggende side (AAS) gjelder sinussetningen.
- Skriv formelen med innsatte verdier → 10/sin(30°) = b/sin(60°) — Par hver side med sinus av motstående vinkel.
- Løs for b → b = 10 · sin(60°) / sin(30°) = 10 · 0,8660,5 — Gang begge sider med sin(B) for å isolere b.
- Rund av til 2 desimaler → b ≈ 17,32 — Regn ut og rund av til ønsket presisjon.
I en trekant er side a = 4, side b = 6, og den mellomliggende vinkelen C = 60°. Finn side c.
Svar: c ≈ 5,29
- Identifiser setningen → SAS → law of cosines — To sider og mellomliggende vinkel → bruk cosinussetningen.
- Skriv formelen med innsatte verdier → c² = 4² + 6² − 2·4·6·cos(60°) — c² = a² + b² − 2ab·cos(C).
- Løs algebraisk → c² = 16 + 36 − 48·0,5 = 28,0 — Regn ut hvert ledd og kombiner.
- Trekk kvadratrot og rund av → c = √28,0 ≈ 5,29 — Sidelengder er positive; rund av til 2 desimaler.
Vanlige feil
- En vanlig feil er å bruke sinussetningen på SAS-konfigurasjoner, som gir a/sin(30°) = 8/sin(60°) i stedet for cosinussetningen c² = 5² + 8² − 2·5·8·cos(30°) ≈ 21,14.
- Mange glemmer å kontrollere om SSA-konfigurasjonen gir tvetydige løsninger, og får bare én verdi b = 12 når det faktisk finnes to gyldige trekanter med b = 12 og b = 4.
- Ved bruk av cosinussetningen til å finne vinkler skriver mange cos(C) = c²/(2ab) i stedet for den korrekte formelen cos(C) = (a² + b² − c²)/(2ab).