Skip to content
MathAnvil
§ Algebra

Andregradslikninger — oppgaver

Gratis PDF · Oppgaver + fasit · Last ned umiddelbart

Lett

10 oppgaver

Middels

20 oppgaver

Vanskelig

20 oppgaver

Blandet

30 oppgaver

Gratis utskriftsvennlige andregradslikninger-oppgaver med trinnvis fasit. Hvert oppgaveark genereres unikt slik at elevene aldri ser de samme oppgavene to ganger. Emnene spenner fra rene andregradslikninger (x² = c) på lett nivå til faktorisering, større røtter på avansert nivå.

CCSS.HSA.REICCSS.HSA.SSE

Hva er andregradslikninger?

En andregradslikning er en algebraisk likning på formen ax² + bx + c = 0, der a, b og c er konstanter og a ≠ 0. Slike likninger har maksimalt to løsninger og kan løses ved faktorisering eller abc-formelen. Andregradslikninger dukker opp i LK20 på 10. trinn som et sentralt kompetansemål.

Hvorfor det er viktig

Andregradslikninger modellerer fenomener der endringshastigheten selv endrer seg, som kastebaner for baller eller prosjektiler. En fotball som sparkes oppover følger banen h = -5t² + 20t + 2, der høyden måles i meter og tiden i sekunder. Innenfor økonomi beskriver de maksimal fortjeneste når en bedrift justerer prisen på produkter. Fysikk bruker dem til å beregne bevegelse med konstant akselerasjon, som når en bil bremser fra 80 km/t. Geometriske problemer om arealer og volumer fører ofte til andregradslikninger — for eksempel å finne dimensjonene til en rettangulær hage med kjent areal på 24 m². Senere matematikkfag som kalkulus bygger på forståelsen av andregradslikninger.

Vanlige feil å være obs på

  • ✗En vanlig feil er å glemme den negative roten, som å skrive x² = 9 gir x = 3 i stedet for x = ±3
  • ✗Ved faktorisering skrives ofte x² - 5x + 6 = 0 som (x - 2)(x + 3) = 0 i stedet for (x - 2)(x - 3) = 0
  • ✗I abc-formelen glemmes diskriminanten, slik at b² - 4ac = (-3)² - 4(1)(2) blir 9 - 8 = 1 i stedet for korrekte 9 - 8 = 1

Spørsmål lærere stiller

Hva er forskjellen på faktorisering og abc-formelen?+
Faktorisering fungerer best når røttene er hele tall, som x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4). Abc-formelen virker alltid, også når røttene er irrasjonale som ved x² - 3x + 1 = 0, der x = (3 ± √5)/2.
Hvordan vet jeg om andregradslikningen har løsninger?+
Diskriminanten b² - 4ac avgjør dette. Hvis den er positiv, finnes to løsninger. Hvis den er null, finnes én løsning. Hvis den er negativ, finnes ingen reelle løsninger. For x² - 6x + 9 = 0 er diskriminanten 36 - 36 = 0.
Hvordan kontrollerer jeg svaret mitt?+
Sett løsningene tilbake i den opprinnelige likningen. For x² - 5x + 6 = 0 med løsninger x = 2 og x = 3: (2)² - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓ og (3)² - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 ✓.
Når bruker jeg faktorisering versus abc-formelen?+
Prøv faktorisering først hvis koeffisientene er små hele tall. For x² + 5x + 6 = 0 er faktorisering (x + 2)(x + 3) = 0 raskere. Bruk abc-formelen ved kompliserte koeffisienter som 2x² - 7x + 3 = 0.
Kan en andregradslikning ha mer enn to løsninger?+
Nei, en ekte andregradslikning har maksimalt to løsninger. Dette følger av algebraens fundamentalsetning. Rene andregradslikninger som x² = 16 har to løsninger (x = ±4), mens fullstendige kvadrater som (x - 3)² = 0 har én dobbel løsning.
Generer oppgaveark →Gratis · Ingen konto · Ubegrenset

Velg vanskelighetsgrad

Klikk på et nivå for å åpne generatoren med den vanskelighetsgraden forhåndsvalgt.

Nybegynner

Generer →
Konsepter
Rene andregradslikninger (x² = c)
Tallområde
x: 1–5
Steg
2–3 trinn
Eksempel
x² = 25

Lett

Generer →
Konsepter
Faktorisering med positive heltalls-røtter
Tallområde
røtter 1–5, a=1
Steg
4–5 trinn
Eksempel
x² − 5x + 6 = 0

Middels

Generer →
Konsepter
Faktorisering, røtter kan være negative
Tallområde
røtter −6 til 6, a=1
Steg
4–5 trinn
Eksempel
x² + x − 12 = 0

Vanskelig

Generer →
Konsepter
Faktorisering, større røtter
Tallområde
røtter −8 til 8, a=1
Steg
4–5 trinn
Eksempel
x² − 2x − 15 = 0

Prøv en eksempeloppgave

Prøv det nå

Klikk «Generer en oppgave» for å se et ferskt eksempel på denne teknikken.

Lær teorien → Les guiden vår om andregradslikninger med gjennomgangeksempler.

Øv på nett → Interaktive andregradslikninger-oppgaver med umiddelbar tilbakemelding.